Question

6．某校为了解一个英语教改实验班的情况，举行了一次测试，将该班30位学生的英语成绩进行统计，得图示频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求出该班学生英语成绩的众数和平均数；
（2）从成绩低于80分得学生中随机抽取2人，规定抽到的学生成绩在[50，60）的记1绩点分，在[60，80）的记2绩点分，设抽取2人的总绩点分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）英语成绩在[80，90）区间内对应的小矩形最高，由此能求出该班学生英语成绩的众数，由频率分布直方图得该班学生英语成绩的平均数．
（2）成绩低于80分的学生有12人，其中成绩在成绩在[50，60）的学生有2人，成绩为[60，80）的学生有10人，设抽取2人的总绩点分为ξ，则ξ的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵英语成绩在[80，90）区间内对应的小矩形最高，
∴该班学生英语成绩的众数为85．
由频率分布直方图得该班学生英语成绩的平均数为：
$55×\frac{2}{30}+65×\frac{4}{30}+75×\frac{6}{30}+85×\frac{10}{30}+95×\frac{8}{30}$=81．
（2）成绩低于80分的学生有30×（$\frac{2}{30}+\frac{4}{30}+\frac{6}{30}$）=12人，
其中成绩在成绩在[50，60）的学生有$30×\frac{2}{30}$=2人，
成绩为[60，80）的学生有$30×（\frac{4}{30}+\frac{6}{30}）$=10人，
设抽取2人的总绩点分为ξ，则ξ的可能取值为2，3，4，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{1}{66}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{10}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{20}{66}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{45}{66}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{66}$	$\frac{20}{66}$	$\frac{45}{66}$

Eξ=$2×\frac{1}{66}+3×\frac{20}{66}+4×\frac{45}{66}$=$\frac{121}{33}$．

点评 本题考查英语成绩的众数及平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．