Question

11．已知直线l：x=5，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F，A是椭圆C上任意一点，|AF|的最小值为$\sqrt{5}$-1，且点A到直线l的距离最小值为5-$\sqrt{5}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动直线l₁：y=kx+m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线l交于点Q，问：以线段PQ为直径的圆是否经过x轴上的定点，若存在，求出点M坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得5-a=5-$\sqrt{5}$，解得a=$\sqrt{5}$．可得a-c=$\sqrt{5}$-1，即有c=1，由a，b，c的关系，可得b，可得椭圆方程；
（2）将直线y=kx+m代入4x²+5y²=20，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，求得P的坐标，设M（t，0），又Q（5，5k+m），运用向量的坐标，由以线段PQ为直径的圆经过x轴上的定点，可得$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，由恒成立思想即可得到定点．

解答 解：（1）由点A到直线l的距离最小值为5-$\sqrt{5}$，
可得5-a=5-$\sqrt{5}$，解得a=$\sqrt{5}$．
又|AF|的最小值为$\sqrt{5}$-1，可得
a-c=$\sqrt{5}$-1，即有c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）将直线y=kx+m代入4x²+5y²=20，
可得（4+5k²）x²+10kmx+5m²-20=0，
由△=100k²m²-4（4+5k²）（5m²-20）=0，
即m²=4+5k²，
x_P=-$\frac{5km}{4+5{k}^{2}}$，y_P=kx_P+m=$\frac{4}{m}$，即P（-$\frac{5km}{4+5{k}^{2}}$，$\frac{4}{m}$），
设M（t，0），又Q（5，5k+m），$\overrightarrow{MP}$=（-$\frac{5k}{m}$-t，$\frac{4}{m}$），$\overrightarrow{MQ}$=（5-t，5k+m），
即有$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=（-$\frac{5k}{m}$-t）（5-t）+$\frac{4}{m}$（5k+m）=t²-5t+4+$\frac{5k}{m}$（t-1），
以线段PQ为直径的圆是否经过x轴上的定点，可得
$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，即有$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-5t+4=0}\\{t-1=0}\end{array}\right.$，解得t=1．
故存在点M（1，0）满足题意．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意最小值的运用，考查定点的求法，注意运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于中档题．