Question

2．如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．
（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；
（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，推导出平面EMN∥平面ACDF，由此能证明EM∥平面ACDF．
（2）由已知AC⊥平面BCDE，从而AC⊥BD，再由BD⊥AD，AC∩AD=A，能证明BD⊥平面ACDF．

解答 证明：（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，
∵长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点，
∴EN∥CD，MN∥AC，
∵EN∩MN=N，CD∩AC=C，
EN，MN?平面EMN，CD，AC?平面ACDF，
∴平面EMN∥平面ACDF，
∵EM?平面EMN，∴EM∥平面ACDF．
（2）∵长方形ACDF中，AC⊥CD，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，
∴AC⊥平面BCDE，
∵BD?平面BCDE，∴AC⊥BD，
∵BD⊥AD，AC∩AD=A，
∴BD⊥平面ACDF．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．