Question

4．求函数$y=\sqrt{x-5}+\sqrt{7-x}$的最大值．

Answer 1

分析 根据条件利用平方关系结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{x-5≥0}\\{7-x≥0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≥5}\\{x≤7}\end{array}\right.$，即5≤x≤7，
由$y=\sqrt{x-5}+\sqrt{7-x}$平方得y²=x-5+7-x+2$\sqrt{（x-5）（7-x）}$=2+2$\sqrt{-（x-6）^{2}+1}$，
∵5≤x≤7，
∴当x=6时，函数y²=2+2$\sqrt{-（x-6）^{2}+1}$取得最大值为y²=2+2=4，
当x=5或7时，函数y²=2+2$\sqrt{-（x-6）^{2}+1}$取得最小值为y²=2，
即2≤y²≤4，则$\sqrt{2}$≤y≤2，
即函数的最大值为2．

点评 本题主要考查函数最值的求解，利用平方法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．