Question

8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（x+1），x≥0}\\{-x{e}^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，方程f²（x）+mf（x）=0（m∈R）有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{e}$）
• B． （-$\frac{1}{e}$，0）
• C． （-$\frac{1}{e}$，+∞）
• D． （0，$\frac{1}{e}$）

Answer 1

分析 求出当x＜0时，函数f（x）的导数，判断函数的极值，作出函数f（x）的图象，判断函数f（x）=t的根的情况，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：当x＜0时，f（x）=-xe^x，
则f′（x）=-（x+1）e^x，
由f′（x）=0得x=-1，
当x＜-1时，f′（x）＞0，
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，
即当x=-1时，函数f（x）取得极大值，此时f（-1）=$\frac{1}{e}$，
且当x＜0时，f（x）＞0，
当x≥0时，f（x）=ln（x+1）≥0，
设t=f（x），
则当t=$\frac{1}{e}$时，方程t=f（x）有两个根，
当t＞$\frac{1}{e}$或t=0时，方程t=f（x）有1个根，
当0＜t＜$\frac{1}{e}$时，方程t=f（x）有3个根，
当t＜0时，方程t=f（x）有0个根，
则方程f²（x）+mf（x）=0（m∈R）等价为t²+mt=0，
即t=0或t=-m，
当t=0时，方程t=f（x）有1个根，
∴若方程f²（x）+mf（x）=0（m∈R）有四个不相等的实数根，
则等价为t=f（x）有3个根，
即0＜-m＜$\frac{1}{e}$，得-$\frac{1}{e}$＜m＜0，
故选：B．

点评 本题主要考查函数根的个数的判断，求函数的导数，研究函数的取值范围，利用换元法和图象法进行求解是解决本题的关键．