Question

7．设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x₀，h（x₀））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x₀时，若$\frac{h（x）-g（x）}{x-{x}_{0}}$＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=lnx+x²-x的“类对称点”的横坐标是（　　）

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 函数y=f（x）在其图象上一点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为y=g（x））=（2x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）（x-x₀）+x₀²-x₀+lnx₀，由此能推导出y=f（x）存在“类对称点”，$\frac{\sqrt{2}}{2}$是一个“类对称点”的横坐标．

解答 解：函数y=f（x）在其图象上一点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为：
y=g（x）=（2x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）（x-x₀）+x₀²-x₀+lnx₀，
设m（x）=f（x）-g（x）=x²-x+lnx-（2x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）（x-x₀）-x₀²+x₀-lnx₀，
则m（x₀）=0．
m′（x）=2x+$\frac{1}{x}$-1-（2x₀+$\frac{1}{{x}_{0}}$-1）=（x-x₀）（2-$\frac{1}{x{x}_{0}}$）=$\frac{1}{x}$（x-x₀）（2x-$\frac{1}{{x}_{0}}$）
若x₀＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，m（x）在（x₀，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）上单调递减，
∴当x∈（x₀，$\frac{1}{2{x}_{0}}$）时，m（x）＜m（x₀）=0，此时$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0；
若x₀＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，φ（x）在（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，x₀）上单调递减，
∴当x∈（$\frac{1}{2{x}_{0}}$，x₀）时，m（x）＞m（x₀）=0，此时时$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＜0；
∴y=f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上不存在“类对称点”．
若x₀=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2}{x}$（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²＞0，
∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x₀时，m（x）＞m（x₀）=0，
当x＜x₀时，m（x）＜m（x₀）=0，故$\frac{m（x）}{x-{x}_{0}}$＞0．
即此时点P是y=f（x）的“类对称点”
综上，y=f（x）存在“类对称点”，$\frac{\sqrt{2}}{2}$是一个“类对称点”的横坐标．
故选：B．

点评 本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．