Question

设等比数列{a_n}前n项和为S_n，若S₃+S₆=2S₉．
（Ⅰ）求数列的公比q；
（Ⅱ）求证：2S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分公比等于1，验证数列是否成立；公比不等于1，利用前n项和公式求出公比，即可；
（Ⅱ）通过公比，推出

S6

2S3

=

S12-S6

S6

，即可证明数列是等比数列．

解答：解 （Ⅰ）当q=1时，S₃+S₆=9a₁，2S₉=18a₁．因为a₁≠0，所以S₃+S₆≠2S₉，由题设q≠1．从而由S₃+S₆=2S₉得

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=2•

a1(1-q9)

1-q

，化简得2q⁹-q⁶-q³=0，
因为q≠0，所以2q⁶-q³-1=0，即（2q³+1）（q³-1）=0．又q≠1，所以q3=-

1

2

，q=

3	- 1 2

．
（Ⅱ）由q3=-

1

2

得

S6

2S3

=

1

2

•

S6-S3+S3

S3

=

1

2

•(

S6-S3

S3

+1)=

1

2

•(q3+1)=

1

2

(-

1

2

+1)=

1

4

；
又

S12-S6

S6

=q6=(-

1

2

)2=

1

4

，所以

S6

2S3

=

S12-S6

S6

，从而2S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．

点评：本题是中档题，考查数列的基本性质，注意等比数列公比的讨论，等比数列的证明，考查计算能力，常考题型．