Question

15．对于二元函数有如下定义：对于平面点集D，若按照某种对应法则f使得D中的每一点P（x，y）都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数．D称为二元函数的定义域，全体函数值构成的集合称为二元函数的值域，使得f（x，y）=0成立的实数对（x，y）称为二元函数的“上升点”，若二元函数f（x，y）=3+sin[π+（2x+$\frac{1}{2}$）]-$\frac{2{x}^{2}+16xy+32{y}^{2}+2}{x+4y}$，（x，y）∈D₁存在“上升点”，则二元函数h（x，y）=（x+4）²+（y+3）²，（x，y）∈D₁的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{13}$
• B． 17
• C． $\frac{53}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{53}}{2}$

Answer 1

分析 由新定义可得3-sin（2x+$\frac{1}{2}$）=2（x+4y+$\frac{1}{x+4y}$），运用正弦函数的值域和基本不等式，可得x+4y=1，由二元函数h（x，y）=（x+4）²+（y+3）²，（x，y）∈{（x，y）|x+4y=1}的几何意义为两点（x，y）与（-4，-3）的距离的平方，结合点到直线的距离公式即可得到所求最小值．

解答 解：由题意可得f（x，y）=0即为
3+sin[π+（2x+$\frac{1}{2}$）]-$\frac{2{x}^{2}+16xy+32{y}^{2}+2}{x+4y}$=0，
即3-sin（2x+$\frac{1}{2}$）=2（x+4y+$\frac{1}{x+4y}$），
由-1≤sin（2x+$\frac{1}{2}$）≤1，可得2≤3-sin（2x+$\frac{1}{2}$）≤4，
则x+4y＞0，且x+4y+$\frac{1}{x+4y}$≥2$\sqrt{（x+4y）•\frac{1}{x+4y}}$=2，
即2（x+4y+$\frac{1}{x+4y}$）≥4，
则x+4y+$\frac{1}{x+4y}$=2，即有x+4y=1，
则二元函数h（x，y）=（x+4）²+（y+3）²，（x，y）∈{（x，y）|x+4y=1}
的几何意义为两点（x，y）与（-4，-3）的距离的平方，
由点到直线的距离公式可得d=$\frac{|-4-12-1|}{\sqrt{1+16}}$=$\sqrt{17}$．
即有二元函数h（x，y）的最小值为17．
故选B．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查正弦函数的值域和基本不等式的运用，同时考查两点的距离公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．