Question

10．已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知c•sinA=$\sqrt{3}$a•cosC．
（1）求∠C；
（2）若c=$\sqrt{7}$，∠A≠$\frac{π}{2}$，且sinC+sin（B-A）=3sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）通过正弦定理化简表达式，利用同角三角函数关系式和特殊角的三角函数值即可求出C的大小．
（2）通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，以及sinC+sin（B-A）=3sin2A，推出b=3a，结合余弦定理求出a，b的值，然后求解三角形的面积．

解答 解：（Ⅰ）∵c•sinA=$\sqrt{3}$a•cosC，
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sin}=2R$，得sinCsinA=$\sqrt{3}$sinacosC，由sinA≠0，
即sinC=$\sqrt{3}$cosC，
解得：tanC=$\sqrt{3}$，
结合0＜C＜π，得C=$\frac{π}{3}$．    …（6分）
（Ⅱ）由 C=π-（A+B），得sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA，
∵sinC+sin（B-A）=3sin2A，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinBcosA-cosBsinA=6sinAcosA，
整理得sinBcosA=3sinAcosA．  …（8分）
若cosA=0，即A=$\frac{π}{2}$时不满足条件，舍去．
若cosA≠0，则sinB=3sinA，由正弦定理得b=3a．①
又由已知及余弦定理可得：7=a²+b²-ab，②
联立①②，结合c=2，解得a=1，b=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×1×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查了计算能力，属于基本知识的考查．