Question

1．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁=1，S₂=2，当n≥2时，S_n+1-S_n-1=2ⁿ．
（1）求证：a_n+2-a_n=2ⁿ（n∈N^*）；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过S_n+1-S_n-1=2ⁿ与S_n+2-S_n=2ⁿ⁺¹作差即得结论；
（2）通过S_n+1-S_n-1=2ⁿ可知a_n+1+a_n=2ⁿ（n∈N^*），对其变形可知a_n+1-$\frac{1}{3}$•2ⁿ⁺¹=-（a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ），进而数列{a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ}是以$\frac{1}{3}$为首项、-1为公比的等比数列，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵S_n+1-S_n-1=2ⁿ，
∴S_n+2-S_n=2ⁿ⁺¹，
两式相减得：a_n+2-a_n=2ⁿ（n∈N^*）；
（2）解：∵S_n+1-S_n-1=2ⁿ，
∴a_n+1+a_n=2ⁿ（n∈N^*），
∴a_n+1-$\frac{1}{3}$•2ⁿ⁺¹=-（a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ），
又∵a₁-$\frac{1}{3}•$2=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ}是以$\frac{1}{3}$为首项、-1为公比的等比数列，
∴a_n-$\frac{1}{3}$•2ⁿ=$\frac{1}{3}$•（-1）^n-1，
∴a_n=$\frac{1}{3}$•2ⁿ+$\frac{1}{3}$•（-1）^n-1=$\frac{1}{3}$•[2ⁿ-（-1）ⁿ]．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．