Question

11．已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足cos2A-cos2B=2cos（$\frac{π}{6}$-A）cos（$\frac{π}{6}$+A）．
（1）求角B的值；
（2）若b=$\sqrt{3}$且b≤a，求2a-c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角恒等变换化简可得 2-2sin²A-2cos²B=$\frac{3}{2}$-2sin²A，求得cos²B 的值，可得cosB的值，从而求得B的值．
（2）由b=$\sqrt{3}$≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得2a-c=2$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$），由$\frac{π}{3}$≤A＜$\frac{2}{3}$π，可得$\frac{π}{6}$≤A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，即可得解．

解答 解：（1）∵在△ABC中，cos2A-cos2B=2cos（$\frac{π}{6}$-A）cos（$\frac{π}{6}$+A）=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA-$\frac{1}{2}$sinA）
=2（$\frac{3}{4}$cos²A-$\frac{1}{4}$sin²A）=$\frac{3}{2}$cos²A-$\frac{1}{2}$sin²A=$\frac{3}{2}$-2sin²A．
又∵cos2A-cos2B=1-2sin²A-（2cos²B-1）=2-2sin²A-2cos²B，
∴2-2sin²A-2cos²B=$\frac{3}{2}$-2sin²A，
∴cos²B=$\frac{1}{4}$，
∴cosB=±$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
（2）∵b=$\sqrt{3}$≤a，∴B=$\frac{π}{3}$，
由正弦$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，得a=2sinA，c=2sinC，
故2a-c=4sinA-2sinC=4sinA-2sin（$\frac{2}{3}$π-A）=3sinA-$\sqrt{3}$cosA=2$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$），
因为b≤a，所以$\frac{π}{3}$≤A＜$\frac{2}{3}$π，$\frac{π}{6}$≤A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$，
所以2a-c=2$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）∈[$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．