Question

5．已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{5+2{a}_{n}}{16-8{a}_{n}}$，试求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=$\frac{5+2{a}_{n}}{16-8{a}_{n}}$变形可知a_n+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{3（{a}_{n}-\frac{1}{2}）}{8-4{a}_{n}}$，通过记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-\frac{1}{2}}$可知a_n=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{2}$、b_n+1=2b_n-$\frac{4}{3}$，进而可知数列{b_n-$\frac{4}{3}$}是以$\frac{2}{3}$为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{5+2{a}_{n}}{16-8{a}_{n}}$，
∴a_n+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{5+2{a}_{n}}{16-8{a}_{n}}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{（5+2{a}_{n}）-（8-4{a}_{n}）}{16-8{a}_{n}}$
=$\frac{3（{a}_{n}-\frac{1}{2}）}{8-4{a}_{n}}$，
∵a₁=1≠$\frac{1}{2}$，
∴a_n≠$\frac{1}{2}$，
记b_n=$\frac{1}{{a}_{n}-\frac{1}{2}}$，则a_n=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
∵b_n+1=$\frac{1}{{a}_{n+1}-\frac{1}{2}}$
=$\frac{8-4{a}_{n}}{3（{a}_{n}-\frac{1}{2}）}$
=$\frac{8-4（\frac{1}{{b}_{n}}+\frac{1}{2}）}{3（\frac{1}{{b}_{n}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}）}$
=$\frac{6-\frac{4}{{b}_{n}}}{\frac{3}{{b}_{n}}}$
=$\frac{6{b}_{n}-4}{3}$
=2b_n-$\frac{4}{3}$，
∴b_n+1-$\frac{4}{3}$=2（b_n-$\frac{4}{3}$），
又∵b₁-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{{a}_{1}-\frac{1}{2}}$-$\frac{4}{3}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴数列{b_n-$\frac{4}{3}$}是以$\frac{2}{3}$为首项、2为公比的等比数列，
∴b_n-$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$•2^n-1=$\frac{1}{3}$•2ⁿ，
∴b_n=$\frac{4}{3}$+$\frac{1}{3}$•2ⁿ=$\frac{4+{2}^{n}}{3}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{3}{4+{2}^{n}}$，
∴a_n=$\frac{1}{{b}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4+{2}^{n}}$+$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．