Question

已知函数。

（I）求f（x）的单调区间；

（II）若对任意x∈［1，e］，使得g（x）≥－x²＋（a＋2）x恒成立，求实数a的取值范围；

（III）设F（x）＝，曲线y＝F（x）上是否总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为钝角柄点的钝角三角开，且最长边的中点在y轴上？请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵

∴当、时，在区间、上单调递减．

当时，在区间上单调递增．          ………3分

（Ⅱ）由，得．

∵，且等号不能同时取得，∴，

∵对任意，使得恒成立，

∴对恒成立，即．（）

令，求导得，，      ………5分

∵，

∴在上为增函数，，．            ………7分

（Ⅲ）由条件，，

假设曲线上总存在两点满足：是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上，则只能在轴两侧．

不妨设，则．

∴，  …（※），

是否存在两点满足条件就等价于不等式（※）在时是否有解．………9分

①     若时，，化简得，对此不等式恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q；                    ………11分

②     若时，（※）不等式化为，若,此不等式显然对恒成立，故总存在符合要求的两点P、Q；

若a>0时，有…（▲），

设，则，

显然， 当时，，即在上为增函数，

的值域为，即，

当时，不等式（▲）总有解．故对总存在符合要求的两点P、Q．

………13分

综上所述，曲线上总存在两点，使得是以为钝角顶点的钝角三角形，且最长边的中点在轴上．                                ……14分