Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，10a_n+1-9a_n-1=0，bn=

9

10

(n+2)(an-1)．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）当n取何值时，b_n取最大值；
（3）若

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

对任意m∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对递推式10a_n+1-9a_n-1=0，变形整理可得

an+1-1

an-1

=

9 10 an+ 1 10 -1

an-1

=

9

10

，由此可证结论；
（2）确定a_n-1=(

9

10

)n-1，可得b_n的表达式，确定当n=7时，b₈=b₇；当n＜7时，

bn+1

bn

＞1，b_n+1＞b_n；当n＞7时，

bn+1

bn

＜1，b_n+1＜b_n，从而可得结论；
（3）

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

，得tm[

1

m+2

-

10t

9(m+3)

]＜0对任意m∈N^*恒成立，对t分类讨论．当t＞0时，由t^m＞0（m∈N^*），分离参数可得t＞

9(m+3)

10(m+2)

，确定右边的最大值，即可求得实数t的取值范围．

解答：（1）证明：∵10a_n+1-9a_n-1=0，
∴an+1=

9

10

an+

1

10

．
∴

an+1-1

an-1

=

9 10 an+ 1 10 -1

an-1

=

9

10

，
∵a₁=2，
∴{a_n-1}是以a₁-1=1为首项，公比为

9

10

的等比数列．
（2）解：由（ 1），可知a_n-1=(

9

10

)n-1（n∈N^*）．
∴bn=

9

10

(n+2)(an-1)=(n+2)(

9

10

)n，

bn+1

bn

=

(n+3)( 9 10 )n+1

(n+2)( 9 10 )n

=

9

10

(1+

1

n+2

)．
当n=7时，

b8

b7

=1，b₈=b₇；当n＜7时，

bn+1

bn

＞1，b_n+1＞b_n；当n＞7时，

bn+1

bn

＜1，b_n+1＜b_n．
∴当n=7或n=8时，b_n取最大值，最大值为b7=b8=

98

107

．
（3）解：由

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

，得tm[

1

m+2

-

10t

9(m+3)

]＜0．（*）
依题意，（*）式对任意m∈N^*恒成立，
①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意．
②当t＜0时，由

1

m+2

-

10t

9(m+3)

＞0，可知t^m＜0（m∈N^*），而当m是偶数时t^m＞0，因此t＜0不合题意．
③当t＞0时，由t^m＞0（m∈N^*），
∴

1

m+2

-

10t

9(m+3)

＜0，∴t＞

9(m+3)

10(m+2)

（m∈N^*）．
设h(m)=

9(m+3)

10(m+2)

（m∈N^*），
∵h(m+1)-h(m)=

9(m+4)

10(m+3)

-

9(m+3)

10(m+2)

=-

9

10

•

1

(m+2)(m+3)

＜0，
∴h（1）＞h（2）＞…＞h（m-1）＞h（m）＞…．
∴h（m）的最大值为h(1)=

6

5

．
所以实数t的取值范围是t＞

6

5

．

点评：本题考查数列与不等式的综合，考查等比数列的证明，考查数列的最大值，考查恒成立问题，综合性强，属于中档题．