Question

(本小题满分14分)已知， 且，记在内零点为.

（1）求当取得极大值时，与的夹角θ.

（2）求的解集.

（3）求当函数取得最小值时的值，并指出向量与的位置关系.

 

Answer 1

【答案】

（1）；

（2）的解集为；

（3）是在内的极小值点.且为唯一极值，即为最小值.此时

 。

【解析】

试题分析：（1）先求解函数的导数，然后利用导数的正负来判定函数的单调性，进而确定极值，求解得到

（2）知是在内的极大值点.

且.从而得到到导数的正负满足的x的范围，得到证明。

(3)构造函数，求解导数得到最值。

解（1）：，

，则单调递增；

当，则单调递减.

是在内的极大值点   ……4分

此时

             ……6分

（2）由（1）知是在内的极大值点.

且.

时，且，得 

时，，即的解集为   ……9分

（3）令

因为                    ……10分

，得，则单调递减；

当，得，则单调递增.

是在内的极小值点.且为唯一极值，即为最小值. ……13分

此时，即             ……14分

考点：本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，求解最值和向量数量积的运用。

点评：解决该试题的关键是能利用已知中导数判定单调性，进而求解极值，同时得到向量的夹角的求解运用。而构造函数求解导数，分析单调性得到最值，使我们解决导数问题中常见的比较重要的题型之一。