Question

如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮作匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低处．
（1）试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m．

Answer 1

分析：（1）由图形知，可以以点O在地面上的垂足为原点，OP所在直线为y轴，过O在地面上的投影且与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，由起始位置在最低点，故可以得出点P的坐标，再由摩天轮作匀速转动，每3min转一圈，知T=3，可得角速度为

2π

3

弧度/分，再结合摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，即可得出确定在时刻tmin时P点距离地面的高度的函数；
（2）由（1）中的函数，令函数值大于70解不等式即可得出P点距离地面超过70m的时间．

解答：解：（1）由图形知，可以以点O为原点，OP所在直线为y轴，与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，由题意
P（-

π

2

，10），A=40，T=3，可得ω=

2π

3

，故有点P离地面的高度h=40sin（

2π

3

t-

π

2

）+50，即t时刻点P离地面的高度h=40sin（

2π

3

t-

π

2

）+50
（2）令40sin（

2π

3

t-

π

2

）+50＞70得sin（

2π

3

t-

π

2

）＞

1

2

，即有

π

6

＜

2π

3

t-

π

2

＜

5π

6

，解得1＜t＜2，在旋转一圈的三分钟的时间里，从一分钟开始高度大于70，二分钟开始高度小于70，故高度大于70的时间一周中有一分钟．
答：一周中有一分钟的时间高度超过70m．

点评：本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的坐标系，得出相应的函数的模型，作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角．