Question

（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）
我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗？请同学们进行研究并完成下面问题。
（1）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线的距离分别为d₁、d₂，试求d₁·d₂的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。
（2）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线       （m、n不同时为0）的距离分别为d₁、d₂，且直线L与椭圆M相切，试求d₁·d₂的值。
（3）试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。
（4）将（3）中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论（不必证明）。

Answer 1

（本题20分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题6分，第4小题4分）
（1）； ………………2分
联立方程； …………3分
与椭圆M相交。 …………4分
（2）联立方程组
消去

（3）设F₁、F₂是椭圆的两个焦点，点F₁、F₂到直线
的距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧。那么直线L与椭圆相交的充要条件为：；直线L与椭圆M相切的充要条件为：；直线L与椭圆M相离的充要条件为：　……14分
证明：由（2）得，直线L与椭圆M相交

命题得证。
（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）
（4）可以类比到双曲线：设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，点F₁、F₂到直线距离分别为d₁、d₂，且F₁、F₂在直线L的同侧。那么直线L与双曲线相交的充要条件为：；直线L与双曲线M相切的充要条件为：；直线L与双曲线M相离的充要条件为：………………20分
（写出其他的充要条件仅得2分，未指出“F₁、F₂在直线L的同侧”得3分）

同答案