Question

7．已知定义域为R的函数$f（x）=\frac{{k-{2^{-x}}}}{{{2^{-x+1}}+2}}$是奇函数．
（1）求k的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据定义域为R的奇函数f（0）=0，求出k的值；
（2）函数f（x）是定义域R上的增函数，利用单调性定义证明即可．

解答 解：（1）定义域为R的函数$f（x）=\frac{{k-{2^{-x}}}}{{{2^{-x+1}}+2}}$是奇函数，
则f（0）=0，即$\frac{k-1}{2+2}$=0，
解得k=1；
（2）函数f（x）=$\frac{1{-2}^{-x}}{{2}^{-x+1}+2}$=$\frac{{2}^{x}-1}{2+2{•2}^{x}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1{+2}^{x}}$，是定义域R上的增函数；
证明如下：任取x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1{+2}^{{x}_{1}}}$）-（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{1{+2}^{{x}_{2}}}$）
=$\frac{1}{1{+2}^{{x}_{2}}}$-$\frac{1}{1{+2}^{{x}_{1}}}$
=$\frac{{2}^{{x}_{1}}{-2}^{{x}_{2}}}{（1{+2}^{{x}_{1}}）（1{+2}^{{x}_{2}}）}$，
由x₁＜x₂，得${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$＜0，且1+${2}^{{x}_{1}}$＞0，1+${2}^{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）是定义域R上的单调增函数．

点评 本题考查了函数奇偶性与单调性的定义与应用问题，是基础题目．