Question

对于，定义一个如下数阵：

其中对任意的，，当能整除时，；当不能整除时，．设．

（Ⅰ）当时，试写出数阵并计算；

（Ⅱ）若表示不超过的最大整数，求证：；

（Ⅲ）若，，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）解：依题意可得，

         　．

       　  ．

（Ⅱ）解：由题意可知，是数阵的第列的和，

         因此是数阵所有数的和．

         而数阵所有数的和也可以考虑按行相加．

         对任意的，不超过的倍数有，，…，．

         因此数阵的第行中有个１，其余是，即第行的和为．

         所以．

（Ⅲ）证明：由的定义可知，，

         所以．

         所以．

         考查定积分，

         将区间分成等分，则的不足近似值为，

         的过剩近似值为．

         所以．

         所以．

         所以．

         所以．