精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2013•唐山一模)己知直线l的斜率为k,它与抛物线y2=4x相交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若
AF
=2
FB
,则|k|=(  )
分析:设出直线方程,把直线方程和抛物线方程联立后得到关于x的一元二次方程,利用根与系数关系得到两个交点的横坐标的和与积,由
AF
=2
FB
代入坐标整理后得到直线的斜率与截距间的关系,由两个向量的模相等,结合抛物线定义可求出两个交点横坐标的具体值,代入两根和的关系式得到直线的斜率与截距的另一关系式,解方程组可求解k的值.
解答:解:设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),与抛物线y2=4x相交于A(x1,y1),B(x2,y2).
联立
y2=4x
y=kx+m
,得k2x2+(2km-4)x+m2=0.
所以△=(2km-4)2-4k2m2=16-16km>0,即km<1.
x1+x2=
4-2km
k2
x1x2=
m2
k2

由y2=4x得其焦点F(1,0).
AF
=2
FB
,得(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2).
所以
1-x1=2x2-2①
-y1=2y2

由①得,x1+2x2=3 ③
由②得,x1+2x2=-
3m
k

所以m=-k.
再由
AF
=2
FB
,得|
AF
|=2|
FB
|

所以x1+1=2(x2+1),即x1-2x2=1④
联立③④得x1=2,x2=
1
2

所以x1+x2=
4-2km
k2
=
5
2

把m=-k代入得
4-2k(-k)
k2
=
5
2
,解得|k|=2
2
,满足mk=-8<1.
所以|k|=2
2

故选A.
点评:本题考查了抛物线的简单几何性质,考查了直线与圆锥曲线的关系,解答的关键是利用向量关系得到两个交点A,B的坐标的关系,同时灵活运用了抛物线的定义,属中高档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•唐山一模)已知向量
a
b
满足(
a
+2
b
)•(
a
-
b
)=-6,且|
a
|=1,|
b
|=2,则
a
b
的夹角为(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•唐山一模)设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3,4}的集合B的个数是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•唐山一模)若复数
a-2i
1+i
(a∈R)
为纯虚数,则|3-ai|=(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•唐山一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD丄底面ABCD,∠APD=
π2

(I )求证:平面PAB丄平面PCD;
(II)如果AB=BC,PB=PC,求二面角B-PC-D的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•唐山一模)己知函数f(x)=(mx+n)e-x在x=1处取得极值e-1
(I )求函数f(x)的解析式,并求f(x)的单调区间;
(II )当.x∈(a,+∞)时,f(2x-a)+f(a)>2f(x),求a的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案