Question

（2012•江苏三模）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M

2 1 3 4

（1）求矩阵M的逆矩阵；
（2）求矩阵M的特征值及特征向量．

Answer 1

分析：（1）先求矩阵M的行列式，进而可求其逆矩阵，
（2）令矩阵M的特征多项式等于0，即可求得矩阵M的特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．

解答：解：（1）矩阵的行列式为

.

2 1 3 4

.

=8-3=5，
∴求矩阵M的逆矩阵M^-1=

4 5 - 1 5 - 3 5 2 5

．…（4分）
（2）矩阵A的特征多项式为矩阵M的特征多项式为f（λ）=

.

λ-2 -1 -3 λ-4

.

=λ²-6λ-5，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为1或5，…（6分）
当λ=1时 由二元一次方程

-x-y=0 -3x-3y=0

得x+y=0，令x=1，则y=-1，
所以特征值λ=1对应的特征向量为

α1

=

1 -1

．…（8分）
当λ=5时 由二元一次方程

3x-y=0 -3x+y=0

得3x-y=0，
令x=1，则y=3，
所以特征值λ=5对应的特征向量为

α2

=

1 3

．…（10分）

点评：本题以矩阵为载体，考查矩阵的逆矩阵，考查矩阵M的特征值及特征向量，关键是求其行列式，正确写出矩阵M的特征多项式．