Question

在△ABC中，D为边BC上一点，BD=

1

2

DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为3-

3

，则∠BAC=

 

．

Answer 1

分析：先根据三角形的面积公式利用△ADC的面积求得DC，进而根据三角形ABC的面积求得BD和BC，进而根据余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．

解答：解：由△ADC的面积为3-

3

可得
S△ADC=

1

2

•AD•DC•sin60°=

3

2

DC=3-

3

S△ABC=

3

2

(3-

3

)=

1

2

AB•AC•sin∠BAC
解得DC=2

3

-2，则BD=

3

-1，BC=3

3

-3．
AB²=AD²+BD²-2AD•BD•cos120°=4+(

3

-1)2+2(

3

-1)=6，AB=

6

AC2=AD2+CD2-2AD•CD•cos60°=4+4(

3

-1)2-4(

3

-1)=24-12

3

AC=

6

(

3

-1)
则cos∠BAC=

BA2+AC2-BC2

2AB•AC

=

6+24-12 3 -9(4-2 3 )

2 6 • 6 ( 3 -1)

=

6 3 -6

12( 3 -1)

=

1

2

．
故∠BAC=60°．

点评：本题主要考查解三角形中的边角关系及其面积等基础知识与技能，分析问题解决问题的能力以及相应的运算能力．