Question

若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx； 
④|x|+1=

4-y2

对应的曲线中存在“自公切线”的有

②③

．

Answer 1

分析：①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 处的切线都是y=-

1

4

，故②有自公切线．
③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④结合图象可得，此曲线没有自公切线．

解答：解：①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②y=x²-|x|=

(x- 1 2 )2- 1 4 (x+ 1 2 )2- 1 4

，在 x=

1

2

 和 x=-

1

2

 处的切线都是y=-

1

4

，故②有自公切线．
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=

3

5

，sinφ=

4

5

，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④由于|x|+1=

4-y2

，即 x²+2|x|+y²-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
故答案为②③．

点评：正确理解新定义“自公切线”，正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键．