Question

选修4-4（坐标系与参数方程）
求直线

x=1+4t y=-1-3t

（t为参数）被曲线ρ=

2

cos(θ+

π

4

)所截的弦长．

Answer 1

分析：利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得曲线ρ=

2

cos(θ+

π

4

)的直角坐标方程，消去参数t得到直线

x=1+4t y=-1-3t

（t为参数）的普通方程，最后利用直线和圆的相交关系求解．

解答：解：曲线ρ=

2

cos(θ+

π

4

)，即ρ²=ρcosθ-ρsinθ，化为直角坐标方程为x²+y²=x-y，
即为（x-

1

2

）²+（y+

1

2

）²=

1

2

，
直线

x=1+4t y=-1-3t

（t为参数）的方程是：3x+4y+1=0
曲线C表示以（

1

2

，-

1

2

）为圆心，以r=

2

2

为半径的圆．
圆心到直线l距离d=

|3× 1 2 -4× 1 2 +1|

9+16

=

1

10

．
所截的弦长|AB|=2

r2-d2

=2

1 2 - 1 100

=

7

5

．

点评：本题考查了极坐标、直角坐标方程、及参数方程的互化，圆中弦长计算．圆中弦长公式为．|AB|=2

r2-d2

．