Question

（2013•顺义区一模）已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f（

π

6

）|对x∈R恒成立，且f（

π

2

）＜f（π）．则下列结论正确的是（　　）

• A．f（

  11

  12

  π）=-1
• B．f（

  7π

  10

  ）＞f(

  π

  5

  )
• C．f（x）是奇函数
• D．f（x）的单调递增区间是[kπ-

  π

  3

  ，kπ+

  π

  6

  ]（k∈Z）

Answer 1

分析：根据题意首先判断φ的取值，然后逐条验证．
对A，代入求值即可；
对B，代入比较大小即可；
对C，根据奇函数定义，验证是否适合；
对D，通过解不等式求单调区间的方法求解．

解答：解：∵f（x）≤|f（

π

6

）|对x∈R恒成立，∴2×

π

6

+φ=kπ+

π

2

⇒φ=kπ+

π

6

，k∈Z．
∵f（

π

2

）＜f（π）⇒sin（π+φ）=-sinφ＜sin（2π+φ）=sinφ⇒sinφ＞0．
∴φ=2kπ+

π

6

，k∈Z．不妨取φ=

π

6

f（

11π

12

）=sin2π=0，∴A×；
∵f（

7π

10

）=sin（

7π

5

+

π

6

）=sin

47π

30

=-sin

17π

30

＜0，f（

π

5

）=sin（

2π

5

+

π

6

）=sin

17π

30

＞0，∴B×；
∵f（-x）≠-f（x），∴C×；
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．∴D√；
故选D

点评：本题借助考查命题的真假判断，考查三角函数的性质．