Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n（n∈N⁺）．
（Ⅰ）证明数列{S_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅲ）求数列{n•a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证一个数列为等比数列，就是要证明这个数列的每一项与它的前一项的之比是一个常数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知S_n=3^n-1（n∈N^*），又a_n+1=2S_n（n∈N⁺）可求n≥2时a_n通项，知a₁=1，所以可求n∈N^*时a_n通项．
（Ⅲ）在T_n 的等式两边同乘以3得到一个新的等式，两式左右两边分别相减，再用等比数列的前n项和可求T_n

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=2S_n，∴S_n+1-S_n=2S_n，∴

Sn+1

Sn

=3．
又∵S₁=a₁=1，
∴数列{S_n}是首项为1，公比为3的等比数列，S_n=3^n-1（n∈N^*）．…（4分）
（Ⅱ）当n≥2时，a_n=2S_n-1=2•3^n-2（n≥2），

∴an= 1，(n=1) 2•3n-2，(n≥2).

…（8分）
（Ⅲ） T_n=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
当n=1时，T₁=1；
当n≥2时，T_n=1+4•3⁰+6•3¹+…+2n•3^n-2，…①
3T_n=3+4•3¹+6•3²+…+2n•3^n-1，…②…（11分）
①-②得：-2T_n=-2+4+2（3¹+3²+…+3^n-2）-2n•3^n-1
=2+2•

3(1-3n-2)

1-3

-2n•3n-1=-1+(1-2n)•3n-1
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n≥2)．         …（13分）
又∵T₁=a₁=1也满足上式，
∴Tn=

1

2

+(n-

1

2

)3n-1(n∈N*)．                        …（14分）

点评：求通项公式时，注意验证n=1；用错位相减法求数列的前n项和，要观察项的特征，是否是等差数列的项与等比数列的项的乘积．