Question

已知F₁、F₂是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，椭圆上的点到焦点距离的最大值为+1，最小值为-1
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线l：y=kx+m与⊙O相切，与椭圆C交于不同的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且满足≤x₂•x₂+y₁•y₂≤，求△AOB面积S的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设知，
解得，c=1，
∴b²=1．
∴椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，
∵，
∴m²=k²+1．
由，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于两个不同的点，
∴△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，
∴k²＞0．
，=，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=，
，
∵≤x₂•x₂+y₁•y₂≤，
∴，
∴，
∴
=
=，
设μ=k⁴+k²，则，
，
∵S关于上单调递增，
∴△AOB面积S的最大值为．
分析：（Ⅰ）由题设知，解得，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由圆O与直线l相切，知m²=k²+1．由，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由直线l与椭圆交于两个不同的点，知k²＞0．由韦达定理知，由≤x₂•x₂+y₁•y₂≤，知，所以==，由此能求出△AOB面积S的最大值．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．