Question

已知函数f（x）=（x²+ax-2a²+3a）e^x（x∈R），其中a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）当a=1时，求函数f（x））在[-3，0]上的最大值和最小值．（参考数据：e≈2.71828，e²≈7.38905）

Answer 1

分析：（1）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，对a进行讨论，分别判断函数的单调性，最后根据a的不同取值得出的结论综上所述即可；
（3）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x²e^x，f'（x）=（x²+2x）e^x，故f'（1）=3e，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e，
所以该切线方程为y-e=3e（x-1），
整理得：3ex-y-2e=0．
（2）f′（x）=[x²+（a+2）x-2a²+4a]e^x
令f′（x）=0  解得x=-2a  或x=a-2以下分三种情况讨论．
①若a＞

2

3

，则-2a＜a-2．当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：
-
所以f（x）在（-∞，-2a），（a-2，+∞）内是增函数在（-a，a-2）内是减函数
②若a＜

2

3

，则-2a＞a-2
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

所以f（x）在（-∞，a-2），（-2a，+∞）内是增函数，在（a-2，-2a）内是减函数，
③若a=

2

3

，则-2a=a-2函数f（x）在（-∞，+∞）内单调递增，
（3）由（2），当a=1时，得f（x）在（-∞，-2）递增，在（-1，+∞）递增，
在在（-2，-1）递减，
∴f（-2）=3e^-2是f（x）在x∈[-3，0]的极大值；
f（-1）=e^-1是f（x）在x∈[-3，0]的极小值（8分）
又f（0）=1，f（-3）=7e^-3
∴最大值为f（0）=1，最小值为f（-3）=7e^-3

点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的极值．灵活运用分类讨论的数学思想解决数学问题．