Question

8．已知在直角坐标系x0y中，曲线W：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$（α是参数），在以0为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标线l：2ρcosθ-ρsinθ+3=0．
（1）求直线l的直角坐标方程与曲线W的普通方程；
（2）若点P在直线l上，点Q在曲线W上，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程；
（2）利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）由l的极坐标方程：2ρcosθ-ρsinθ+3=0，可得直角坐标方程：2x-y+3=0．
（2）设Q（cosα，2sinα），到直线l的距离d=$\frac{|2cosα-2sinα+3|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2\sqrt{2}cos（α+φ）+3|}{\sqrt{5}}$≥$\frac{3-2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{10}}{5}$，当且仅当cos（α+φ）=-1时取等号．
∴|PQ|的最小值是$\frac{3\sqrt{5}-2\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式及其三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．