Question

（文）不等式xy≤ax²+2y² 对任意x∈[1，2]及y∈[2，3]恒成立，则实数a的范围是（　　）

• A．-1≤a≤-

  35

  9

• B．a≥-3
• C．a≥-1
• D．-3≤a≤-1

Answer 1

分析：将a分离出来得 a≥

y

x

-2(

y

x

)2，然后根据x∈[1，2]，y∈[2，3]求出

y

x

的范围，令 t=

y

x

，则a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出t-2t²的最大值，即可求出a的范围．

解答：解：由题意可知：不等式xy≤ax²+2y²对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即：a≥

y

x

-2(

y

x

)2，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令 t=

y

x

，则1≤t≤3，
∴a≥t-2t²在[1，3]上恒成立，
∵y=-2t2+t=-2(t-

1

4

)2+

1

8

∴y_max=-1，
∴a≥-1
 故选C．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及分离法的应用，同时考查了二次函数在闭区间上的值域，属于中档题．