Question

已知直线l：y=kx，圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线l交圆于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．
（I）当b=1时，求k的值；
（II）若k＞3时，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当b=1时，代入到圆方程可发现点M（0，1）在圆上．又MP⊥MQ，所以P、Q比在圆直径上，即可得圆心一定在直线l上，代入即可得到答案．
（2）先设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组

y=kx x2+y2-2x-2y+1=0.

可得到两根之和、两根之积的关系式，再根据MP⊥MQ，即

MP

•

MQ

=0，可得x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0，代入可得答案．

解答：解：（1）∵C：x²+y²-2x-2y+1=0∴b=1时，点M（0，1）在圆上．又MP⊥MQ，圆心（1，1）在直线直线l：y=kx上，故k=1
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
联立方程组，

y=kx x2+y2-2x-2y+1=0.

?（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，?x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，x1x2=

1

1+k2

．
∵MP⊥MQ∴

MP

•

MQ

=0，即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0．
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，∴（1+k²）x₁x₂-kb（x₁+x₂）+b²=0，
∴(1+k2)

1

1+k2

-kb

2(1+k)

1+k2

+b2=0.
当b=0时，此式不成立，
从而b+

1

b

=

2k2+2k

1+k2

=2+

2(k-1)

(k-1)2+2(k-1)+2

.．
又∵k＞3，令t=k-1＞2，∴b+

1

b

=2+

2

t+ 2 t +2

.
令函数g(t)=t+

2

t

+2，当t＞2时，g′(t)=1-

2

t2

＞0，g（t）＞5，从而2＜b+

1

b

＜

12

5

.
解此不等式，可得

6- 11

5

＜b＜1或1＜b＜

6+ 11

5

.

点评：本题主要考查直线和圆的方程的有关问题．一般思路将直线方程和圆方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，再代入有关关系式即可．