Question

17．在△ABC中，若BC=2，A=60°，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CA}$有（　　）

• A． 最大值-2
• B． 最小值-2
• C． 最大值2$\sqrt{3}$
• D． 最小值2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 可先画出图形，根据BC=2，A=60°，对$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$两边平方，进行数量积的运算即可得到$4=|\overrightarrow{CA}{|}^{2}+|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|$，从而得出$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|≤4$，这样便可求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}≥-2$，从而得出正确选项．

解答 解：如图，
$\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$；
∴${\overrightarrow{CB}}^{2}={\overrightarrow{CA}}^{2}+{\overrightarrow{AB}}^{2}+2\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{AB}$，且BC=2，A=60°；
∴$4=|\overrightarrow{CA}{|}^{2}+|\overrightarrow{AB}{|}^{2}-|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|$$≥2|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|-|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|$；
即$|\overrightarrow{CA}||\overrightarrow{AB}|≤4$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}=-\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{CA}|≥-2$；
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}$有最小值-2．
故选B．

点评 考查向量加法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，不等式a²+b²≥2ab的运用，以及不等式的性质．