Question

在△ABC中，已知内角A=

π

3

，边BC=2

3

．设内角B=x，△ABC的面积为y．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式和定义域；
（Ⅱ）当角B为何值时，△ABC的面积最大．

Answer 1

分析：（I）由已知角A及三角形的内角和定理可求x的范围，然后由正弦定理，

AC

sinB

=

BC

sinA

可利用x表示AC，代入三角形的面积公式，即可求解
（II）利用两角差的正弦公式及辅助角公式对（I）中的函数关系进行化简，结合正弦函数的性质即可求解取得最大值时的x即B及相应的最大值

解答：解：（I）∵A=

π

3

，且A+B+C=π
∴0＜B＜

2π

3

即0＜x＜

2π

3

由正弦定理可得，

AC

sinB

=

BC

sinA

∴AC=

BC

sinA

sinB=4sinx
y=

1

2

AB•ACsinA=4

3

sinxsin（

2π

3

-x）(0＜x＜

2π

3

)
（II）y=4

3

sinxsin（

2π

3

-x）=4

3

sinx(

3

2

cosx+

1

2

sinx)
=6sinxcosx+2

3

sin2x
=3sin2x+2

3

×

1-cos2x

2

=2

3

sin(2x-

π

6

)+

3

（-

π

6

＜2x-

π

6

＜

7π

6

）
当2x-

π

6

=

π

2

即x=

π

3

时，y取得最大值3

3

∴B=

1

3

π时，△ABC的面积最大为3

3

点评：本题综合考查了三角形的正弦定理、内角和定理及两角差的正弦公式、辅助角公式及正弦函数的性质等知识的综合应用．