Question

7．已知f（x）=ax+$\frac{a}{x}$，g（x）=e^x-3ax，a＞0，若对?x₁∈（0，1），存在x₂∈（1，+∞），使得方程f（x₁）=g（x₂）总有解，则实数a的取值范围为[$\frac{e}{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 对任意的x∈（0，1），f（x）的值域为（2a，+∞），要使?x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）⊆B，对a进行分类讨论，得出a的范围．

解答 解：当x∈（0，1）时，f（x）=ax+$\frac{a}{x}$为减函数，
由f（1）=2a得：f（x）的值域为（2a，+∞），
若若对?x₁∈（0，1），存在x₂∈（1，+∞），使得方程f（x₁）=g（x₂）总有解，
则g（x）的值域B应满足（2a，+∞）⊆B，
令g′（x）=e^x-3a=0，则e^x=3a，即x=ln3a，
若ln3a≤1，即3a≤e，
此时g（x）＞g（1）=e-3a，
此时由e-3a≤2a得：$\frac{e}{5}$≤a≤$\frac{e}{3}$，
若ln3a＞1，即3a＞e，
g（x）=（1，ln3a）上为减函数，在（ln3a，+∞）上为增函数，
此时当x=ln3a时，函数取最小值3a（1-ln3a）＜0＜2a满足条件；
综上可得：实数a的取值范围为[$\frac{e}{5}$，+∞）
故答案为：[$\frac{e}{5}$，+∞）．

点评 本题考查了全称命题，对数函数的图象和性质，利用导数研究函数的最值，难度中档．