Question

已知函数f（x）=log 

1

2

[（

1

2

）^x-2]
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）在区间（-∞，-1）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意知（

1

2

）^x-2＞0；从而求定义域与值域；
（2）函数f（x）=log 

1

2

[（

1

2

）^x-2]在（-∞，-1）上是增函数，利用复合函数的单调性证明．

解答： 解：（1）由题意知，（

1

2

）^x-2＞0；
解得，x＜-1；
故函数的定义域为（-∞，-1），值域为R；
（2）函数f（x）=log 

1

2

[（

1

2

）^x-2]在（-∞，-1）上是增函数，证明如下，
∵0＜

1

2

＜1，
∴函数g（x）=（

1

2

）^x-2在（-∞，-1）上是减函数，
y=log 

1

2

x在（0，+∞）上是减函数；
∴由复合函数的单调性知，
函数f（x）=log 

1

2

[（

1

2

）^x-2]在（-∞，-1）上是增函数．

点评：本题考查了函数的性质的判断与应用，属于基础题．