Question

【题目】已知椭圆 =1（a＞b＞0）的左右焦点F1、F2 ， 离心率为 ，双曲线方程为 =1（a＞0，b＞0），直线x=2与双曲线的交点为A、B，且|AB|= ．
（Ⅰ）求椭圆与双曲线的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线l与椭圆交于M、N两点，交双曲线与P、Q两点，当△F1MN（F1为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值时，求△F1PQ的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得 ，
解得a2=4，b2=3，
∴椭圆方程为 ，双曲线方程为 =1．
（Ⅱ）∵三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F1MN的周长是定值8，
∴只需求出△F1MN面积的最大值．
设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，
设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），则y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，
于是 = = =12 ．
∵ = = ≤ ，
当且仅当m=0时，△F1MN（F1为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值，
∴△F1MN（F1为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值时，过点F2的直线l的方程为x=1，
联立 ，得P（1， ），Q（1，﹣ ），F1（﹣1，0），
∴|PF1|=|QF1|= = ，|PQ|= ，|F1F2|=2，
∴△F1PQ的面积S= = =
【解析】（Ⅰ）由已知得 ，由此能求出椭圆和双曲线方程．（Ⅱ）设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，由韦达定理和弦长公式推导出△F1MN（F1为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值时，过点F2的直线l的方程为x=1，由此能求出△F1PQ的面积．