Question

（理）在平面直角坐标系xOy中，向量

j

=(0，1)，△OFQ的面积为2

3

，且

OF

•

FQ

=m，

OM

=

3

3

OQ

+

j

．
（Ⅰ）设4＜m＜4

3

，求向量

OF

与

FQ

的夹角的取值范围；
（II）设以O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且|

OF

|=c，m=(

3

-1)c2．是否存在点Q，使|

OQ

|最短？若存在，求出此时椭圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设向量

OF

与

FQ

的夹角为θ，利用△OFQ的面积为2

3

，可得|

OF

|•|

FQ

|=

4 3

sinθ

，所以有cosθ=

OF • FQ

| OF |•| FQ |

=

msinθ

4 3

，得tanθ=

4 3

m

．利用4＜m＜4

3

，可得1＜tanθ＜

3

，从而可求夹角θ的取值范围；（II）设Q（x₀，y₀），则

FQ

=（x₀-c，y₀），

OF

=（c，0），用c表示出|

OQ

|，利用基本不等式求最小值，从而可得

OQ

=(2

3

，±2

3

)，利用

OM

=

3

3

OQ

+

j

可得

OM

=

3

3

(2

3

，2

3

)+(0，1)=(2，3)
或

OM

=

3

3

(2

3

，-2

3

)+(0，1)=(2，-1)，由此可求出椭圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）设向量

OF

与

FQ

的夹角为θ
∵△OFQ的面积为2

3

，
∴2

3

=

1

2

|

OF

||

FQ

|•sinθ，
∴|

OF

|•|

FQ

|=

4 3

sinθ

，
由cosθ=

OF • FQ

| OF |•| FQ |

=

msinθ

4 3

，得tanθ=

4 3

m

．
∵4＜m＜4

3

∴1＜tanθ＜

3

∵θ∈[0，π]
∴夹角θ的取值范围是（

π

4

，

π

3

）
（II）设Q（x₀，y₀），则

FQ

=（x₀-c，y₀），

OF

=（c，0）．
∴

OF

•

FQ

=(x0-c，y0)•(c，0)=(x0-c)c=m=(

3

-1)c2∴x0=

3

c
∵△OFQ的面积为2

3

，
∴S△OFQ=

1

2

|

OF

|•|y0|=2

3

∴y0=±

4 3

c

∴|

OQ

|=

x 2 0 + y 2 0

=

( 3 c)2+( 4 3 c )2

≥

2 3 c• 4 3 c

=2

6

∴当且仅当

3

c=

4 3

c

，即c=2时，|

OQ

|取最小值2

6

，此时，

OQ

=(2

3

，±2

3

)
∵

OM

=

3

3

OQ

+

j

∴

OM

=

3

3

(2

3

，2

3

)+(0，1)=(2，3)
或

OM

=

3

3

(2

3

，-2

3

)+(0，1)=(2，-1)
椭圆长轴2a=

(2-2)2+(3-0)2

+

(2+2)2+(3-0)2

=8∴a=4，b2=12
或2a=

(2-2)2+(-1-0)2

+

(2+2)2+(-1-0)2

=1+

17

∴a=

1+ 17

2

，b2=

1+ 17

2

故所求椭圆方程为

x2

16

+

y2

12

=1或

x2

9+ 17 2

+

y2

1+ 17 2

=1

点评：本题以向量为载体，考查向量的夹角，考查基本不等式，考查椭圆的标准方程，计算较繁，需要细心．