Question

如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）设Q为PA的中点，G△AOC的重心，求证：QG∥平面PBV．
（3）若AC=BC=

3

，PC与平面ACB所成的角为

π

3

，求三棱锥P-ACB的
体积．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）直接根据线线垂直，得到线面垂直．
（2）利用中点和重心转化出相交直线平行于相交直线得到面面平行，进一步得到线面平行．
直接利用线面夹角求出锥体的高，进一步计算出锥体的体积．

解答： （1）证明：AB是圆O的直径，
所以：AC⊥BC，
PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点，
所以：PA⊥BC，
BC⊥平面PAC
（2）解：Q为PA的中点，G△AOC的重心，延长OG交AC于M
所以：M是AC的中点，
QM∥PC，OM∥BC
所以：平面OQM∥平面PBC
QG?平面OQM
QG∥平面PBC
（3）解：AC=BC=

3

，PC与平面ACB所成的角为

π

3

，
由于PA垂直圆O所在的平面
所以∠PCA=

π

3

进一步解得：PA=3
VP-ACB=

1

3

S△ACB•PA=

3

2

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，线面平行的判定和面面平行的性质，线面的夹角的应用，锥体的体积的应用，属于基础题型．