Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.　　　　 (Ⅰ)证明：BN⊥平面C₁B₁N；

(Ⅱ)设二面角C－NB₁－C₁的平面角为，求cos的值；

(Ⅲ)M为AB中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长;若不存在，请说明理由.

　　

Answer 1

本题主要考查三视图,线面位置关系，二面角的求法等基本知识，考查空间想像能力，探索运算求解能力和推理论证能力. 满分13分.

法一:(Ⅰ)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,∴BA,BC,BB₁两两垂直.，以BA,BC,BB₁分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,……1分

则N(4,4,0),B₁(0,8,0),C₁(0,8,4),C(0,0,4)

∵=(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0，  =(4,4,0)·(0,0,4)=0   ……3分

∴BN⊥NB₁, BN⊥B₁C₁且NB₁与B₁C₁相交于B₁, ∴BN⊥平面C₁B₁N;    ……4分

(Ⅱ)∵BN⊥平面C₁B₁N, 是平面C₁B₁N的一个，法向量=(4,4,0),    ……5分，

设=(x,y,z)为平面NCB₁的一个法向量,

则，取=(1,1,2),   …7分

则cosθ===;     ……9分

(Ⅲ)∵M(2,0,0).设P(0,0,a)为BC上一点,则=(-2,0,a)，∵MP∥平面CNB₁,

∴⊥·=(-2,0,a) ·(1,1,2)=-2+2 a =0 a =1.   ……12分

又MP平面CNB₁, ∴MP∥平面CNB₁, ∴当BP=1时MP∥平面CNB₁.     ……14分

法二:(Ⅰ)证明:由已知得B₁C₁⊥平面BNB₁,∴B₁C₁⊥BN,

BN=4= B₁N,BB₁=8, ∴BB₁²= BN²+ B₁N², ∴BN⊥B₁N，又B₁C₁与B₁N交于B₁, ∴BN⊥平面C₁B₁N；

(Ⅱ)过N作NQB₁C₁,则BCQN,又BN⊥平面C₁B₁N,

∴CQ⊥平面C₁B₁N,则CQ⊥B₁N, QN⊥B₁N ,∴∠CNQ是二面角C-B₁N-Q的平面角θ,在Rt△CNQ中,NQ=4,CQ=4, ∴CN=4,cosθ==;

(Ⅲ)延长BA、B₁N交于R,连结CR,∵MP∥平面CNB₁,

MP平面CBR, 平面CBR∩平面CRN于CR,

∴MP∥CR, △RB₁B中ANBB₁,∴A为RB中点,

∴==,∴BP=1,因此存在P点使MP∥平面CNB₁.  ……14分