Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别是DD₁，B₁C₁的中点，P是棱AB上的动点，则A₁M与PN所成的角的大小是________．

Answer 1

90°
分析：取CC₁的中点为E，令B₁E与BN的交点为F．可以证明A₁M∥B₁E，继而证明A₁M⊥平面ABN，而PN在平面ABN上，故可得结论．
解答：解：取CC₁的中点为E，令B₁E与BN的交点为F．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴DD₁=CC₁、DD₁∥CC₁，
又MD₁=、EB₁=，
∴MD₁=EC₁，
∴MEC₁D₁是平行四边形，
∴ME=D₁C₁、ME∥D₁C₁．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴A₁B₁=D₁C₁、A₁B₁∥D₁C₁．
∵ME=D₁C₁、ME∥D₁C₁．
∴ME=A₁B₁、ME∥A₁B₁，
∴MEA₁B₁是平行四边形，
∴A₁M∥B₁E．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴BCB₁C₁是正方形，
∴BB₁=B₁C₁=CC₁、∠BB₁N=∠B₁C₁E=90°，
又B₁N=、C₁E=，
∴B₁N=C₁E．
由B₁N=B₁C₁、∠BB₁N=∠B₁C₁E、B₁N=C₁E，得：△BB₁N≌△B₁C₁E，
∴∠BNB₁=∠B₁EC₁，
∴E、F、N、C₁共圆，而∠B₁C₁E=90°，
∴B₁E⊥BN．
由A₁M∥B₁E、B₁E⊥BN，得：A₁M⊥BN．
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴AB⊥平面AA₁D₁D，
又A₁M在平面AA₁D₁D上，
∴A₁M⊥AB．
由A₁M⊥BN、A₁M⊥AB，BN∩AB=B得：A₁M⊥平面ABN，而PN在平面ABN上，
∴A₁M⊥PN，
∴A₁M与PN所成的角为90°．
故答案为：90°
点评：本题以正方体为载体，考查异面直线所成的角，解题的关键是证明线面垂直，从而得到线线垂直．