Question

如图：已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是正方形，O₁、O分别是上、下底面的中心，A₁O⊥平面ABCD．
（1）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）若点E在棱AA1上，且AE=2EA₁，问在棱BC上是否存在点F，使得EF⊥BC？若存在，求出其位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先证明A₁O∥CO₁，再利用A₁O⊥平面ABCD⇒O₁C⊥平面ABCD⇒平面O₁DC⊥平面ABCD；
（2）由AE=2EA₁，猜想F为BC的三等分点B（靠近B）时，有EF⊥BC，再利用EH⊥平面ABCD证得BC⊥EH．又可得HF∥AB⇒HF⊥BC，就可推得结论．
解答：证明：（1）连接AC、BD、A₁C₁则AC、BD的交点，O₁为A₁C₁中点
∴四边形ACC₁A₁为平行四边形，
∴四边形A₁O₁CO为平行四边形（2分）
∴A₁O∥CO₁
∵A₁O⊥平面ABCD
∴O₁C⊥平面ABCD（4分）
∵O₁C?平面O₁DC
∴平面O₁DC⊥平面ABCD（5分）
（2）F为BC的三等分点B（靠近B）时，有EF⊥BC（6分）
过点E作EH⊥AC于H，连FH、EF
∵平面A₁AO⊥平面ABCD
∴EH⊥平面ABCD
又BC?平面ABCD∴BC⊥EH①
∵
∴，又∵
∴HF∥AB∴HF⊥BC，②
由①②知，BC⊥平面EFH，
∵EF?平面EFH，
∴EF⊥BC（12分）
点评：本题考查平面和平面垂直的判定和性质以及探究点的位置问题．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直