【题目】如图,在四棱锥中,底面
为正方形,
底面
,
,
为棱
中点.
(1)求证: 平面
;
(2)若为
中点,
,试确定
的值,使二面角
的余弦值为
.
【答案】(I) 见解析; (II) .
【解析】试题分析:(1)证明线面垂直,一般利用线面垂直判定定理,即从线线垂直出发给予证明,而线线垂直的寻找与论证,往往从两个方面进行,一是利用条件中的线面垂直性质定理得到线线垂直,二是利用平几知识,如等腰三角形性质得到线线垂直,(2)研究二面角的大小,一般方法为利用空间向量数量积,即先根据条件建立恰当的空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出各面法向量,利用向量数量积求出两法向量夹角,再根据二面角与两法向量夹角关系列方程,解出参数.
试题解析:(I)证明:∵底面
,
底面
,∴
,
又∵底面为矩形,∴
,
,
平面
,
平面
,
∴平面
,又
平面
,∴
,
,
为
中点,∴
,
,
平面
,
平面
,∴
平面
.
(II) 以为原点,以
为
轴正方向,建立空间直角坐标系
,令
,
则,
,
,
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量
,
,即
,
设平面的法向量
,
,
即,
,解得
.
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【题目】已知,函数
.
(1)当时,解不等式
;
(2)若关于的方程
的解集中恰有一个元素,求
的值;
(3)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的差不超过1,求
的取值范围.
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【题目】某次考试中,语文成绩服从正态分布,数学成绩的频率分布直方图如下:
(Ⅰ)如果成绩大于135的为特别优秀,随机抽取的500名学生在本次考试中语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人?(假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的)
(Ⅱ)如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人,从(Ⅰ)中至少有一科成绩特别优秀的同学中随机抽取3人,设3人中两科都特别优秀的有人,求
的分布列和数学期望;
(Ⅲ)根据以上数据,是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀.
(附公及表)
①若,则
,
;
②,
;
③
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【题目】(1)求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线l的方程;
(2)求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
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【题目】为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素,
的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
当产品中的微量元素,
满足
且
时,该产品为优等品
(1)若甲厂生产的产品共98件,用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(2)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列及数学期望.
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【题目】已知幂函数满足
.
(1)求函数的解析式;
(2)若函数,是否存在实数
使得
的最小值为0?若存在,求出
的值;若不存在,说明理由;
(3)若函数,是否存在实数
,使函数
在
上的值域为
?若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,说明理由.
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