Question

（2013•江苏一模）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为O，半径为R（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托

EA

，

EB

，

EC

，

ED

所在圆的圆心都是O、半径都是R（米）、圆弧的圆心角都是θ（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h（米），且h＞R；灯脚FA₁，FB₁，FC₁，FD₁是正四棱锥F-A₁B₁C₁D₁的四条侧棱，正方形A₁B₁C₁D₁的外接圆半径为R（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为θ（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米a（元），灯托造价是每米

a

3

（元），其中R，h，a都为常数．设该灯架的总造价为y（元）．
（1）求y关于θ的函数关系式；
（2）当θ取何值时，y取得最小值？

Answer 1

分析：（1）由题意把4根灯脚及灯架写成是关于θ的表达式，运用弧长公式把4根灯托也用θ表示，然后乘以各自的造价作和即可得到y关于θ的函数关系式；
（2）对（1）求出的函数式进行求导计算，分析得到当θ=

π

3

时函数取得极小值，也就是最小值．

解答：解：如图，

（1）延长EF与地面交于O₁，由题意知：∠A₁FO₁=θ，且FO1=

R

tanθ

，
从而EF=h-

R

tanθ

，A1F=

R

sinθ

，
则y=4θ•R•

a

3

+(h-

R

tanθ

+

4R

sinθ

)a，(θ∈(0，

π

2

))．
（2）y=Ra(

4θ

3

+

4-cosθ

sinθ

)+ha，
设f(θ)=

4θ

3

+

4-cosθ

sinθ

，
令f′(θ)=

4

3

+

sin2θ-cosθ(4-cosθ)

sin2θ

=

4sin2θ+3-12cosθ

3sin2θ

=

(1-2cosθ)(7+2cosθ)

3sin2θ

=0．
得：1-2cosθ=0，所以θ=

π

3

．
当θ∈(0，

π

3

)时，f^′（θ）＜0．
当θ∈(

π

3

，

π

2

)时，f^′（θ）＞0．
设θ∈(θ0，

π

2

)，其中tanθ0=

R

h

＜1，∴θ0＜

π

4

．
∴

π

3

∈(θ0，

π

2

)，∴θ=

π

3

时，y最小．
答：当θ=

π

3

时，灯架造价取得最小值．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了利用导数求函数的最值，解答此题时要注意实际问题要注明符合实际意义的定义域，此题是中档题．