Question

如图几何体中，四边形为矩形，，，，，.

（1）若为的中点，证明：面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）见解析；（2）.

试题分析：（1）连接交于点，得知为的中点，连接
根据点为中点，利用三角形中位线定理，得出，进一步得到
面.
（2）首先探究几何体中的线面、线线垂直关系，创造建立空间直角坐标系的条件，应用“向量法”，确定二面角的余弦值.
解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.
试题解析：（1）连接交于点，则为的中点，连接
因为点为中点，所以为的中位线，
所以                       2分
面，面，
所以面       4分
（2）取中点，的中点，连接，则，
所以共面
作于，于，则且
，
和全等，
和全等，
，为中点，
又，，面
，面                      6分

以为原点，为轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，设，则，
，
设面的法向量
，
由，令
                               8分
设面的法向量
，
由，令
                             10分

设二面角的平面角为，
则              12分