Question

12．已知函数f（x）=|x-1|-|2x+m|，m∈R．
（1）当m=-4时，解不等式f（x）＜0；
（2）当x∈（1，+∞）时，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论解不等式，即可得出结论；
（2）x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，即x-1＜|2x+m|，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）当m=-4时，f（x）=|x-1|-|2x-4|，
x＜1时，不等式可化为1-x+2x-4＜0，∴x＜3，∴x＜1；
1≤x≤2时，不等式可化为x-1+2x-4＜0，∴x＜$\frac{5}{3}$，∴1≤x＜$\frac{5}{3}$，
x＞2时，不等式可化为x-1+4-2x＜0，∴x＞3，∴x＞3，
综上所述，不等式的解集为{x|x＜$\frac{5}{3}$或x＞3}；
（2）x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，即x-1＜|2x+m|，
∴m＞-x-1或m＜1-3x，
∴m≥-2．

点评 本题主要考查带由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．