Question

（2010•武汉模拟）数列{K_n}定义如下：K₁=

2

，K_n+1=

2- 4-Kn2

，n∈N^*．
（1）求K₂，K₃的值；
（2）写出{K_n}的通项；
（3）若数列{T_n}定义为：T_n=2ⁿ⁺¹K_n，n∈N^*，
①证明：T_n＜T_n+1，n∈N^*；               ②证明：T_n＜7，n∈N^*．

Answer 1

分析：（1）通过已知条件，n=2，3，直接求K₂，K₃的值；
（2）利用K₁，K₂，K₃的值，找出规律，直接推测出{K_n}的通项公式；
（3）①利用数列{T_n}定义为：T_n=2ⁿ⁺¹K_n，n∈N^*，直接求出

Tn

Tn+1

，推出它的值小于1；
②利用当0＜x＜

π

2

时，sinx＜x，推出T_n的值，通过放缩得到证明的结果．

解答：解：（1）K₂=

2- 4-( 2 ) 2

=

2- 2

=2sin

π

8

，K₃=

2- 4-K22

=2sin

π

16

 （其他合理答案也给分）．
（2）设K₁=2sin

π

4

，则K₂=

2- 4-4sin2 π 4

=

2-2cos π 4

=

2(1-cos π 4 )

=

4sin2 π 23

=2sin

π

23

．
一般地，若K_k=2sin

π

2k+1

，则由递推关系可知：K_k+1=2sin

π

2k+2

∴{K_n}的通项公式为 K_n=2sin

π

2n+1

 （n∈N）
（3）①∵T_n=2ⁿ⁺²sin

π

2n+1

，于是

Tn

Tn+1

=

2n+2sin π 2n+1

2n+3sin π 2n+2

=cos

π

2n+2

＜1，
∴T_n＜T_n+1，n∈N^*
②因为当0＜x＜

π

2

时，sinx＜x，所以T_n=2ⁿ⁺²sin

π

2n+1

＜2ⁿ⁺²×

π

2n+1

=2π＜7．

点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，考查探索性问题，放缩法的应用，考查计算能力．