Question

10．求下列函数的奇偶性
（1）f（x）=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{|x+a|-a}$（常数a≠0）；
（2）f（x）=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（x∈R）；
（3）f（x）=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{|{x}^{2}-2|-2}$．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

解答 解：（1）由a²-x²≥0得-|a|≤x≤|a|，
若a＞0，则-a≤x≤a，此时0≤x+a≤2a，此时f（x）=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{|x+a|-a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{x+a-a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{x}$，
此时函数的定义域为{x|-a≤x≤a且x≠0}，此时f（-x）=-f（x），函数为奇函数；
若a＜0，则a≤x≤-a，此时2a≤x+a≤0，此时f（x）=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{|x+a|-a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{-a-x-a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}{-x-2a}$，
此时函数的定义域为{x|a≤x≤-a}，此时函数为非奇非偶函数；
（2）f（x）+f（-x）=log₂（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）+log₂（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=log₂[（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=log₂（x²+1-x²）=log₂1=0，
即f（-x）=-f（x），则函数为奇函数．
（3）由1-x²＞0得-1＜x＜1，则f（x）=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{|{x}^{2}-2|-2}$=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{2-{x}^{2}-2}$=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{-{x}^{2}}$，
此时函数的定义域为{x|-1＜x＜1且x≠0}．
则f（-x）=$\frac{lg（1-{x}^{2}）}{-{x}^{2}}$=f（x），
故函数为偶函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义是解决本题的关键．注意要先求出函数的定义域．