Question

13．已知x满足：log₂（2^x+1）•log₂（2^x+1+2）≤2，求x的取值范围．

Answer 1

分析 把原不等式变形，然后利用log₂（2^x+1）=t换元，化为关于t的一元二次不等式后求解t的范围，进一步求解指数不等式得答案．

解答 解：由log₂（2^x+1）•log₂（2^x+1+2）≤2，得log₂（2^x+1）•log₂2（2^x+1）≤2，
即log₂（2^x+1）[1+log₂（2^x+1）]≤2，
∴$[lo{g}_{2}（{2}^{x}+1）]^{2}+$log₂（2^x+1）-2≤0，
令log₂（2^x+1）=t，则t²+t-2≤0，解得-2≤t≤1．
∴-2≤log₂（2^x+1）≤1．
则$\frac{1}{4}≤{2}^{x}+1≤2$，
∴$-\frac{3}{4}≤{2}^{x}≤1$，解得：x≤0．
∴x的取值范围是（-∞，0]．

点评 本题考查指数不等式和对数不等式的解法，考查了换元法，是中档题．