Question

8．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），且在[1，+∞）上是增函数，不等式f（ax+2）≤f（x-1）对任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，则实数a的取值范围是[-2，0]．

Answer 1

分析 根据函数的对称性判断函数的单调性，利用不等式恒成立转化为参数恒成立即可．

解答 解：∵f（x+1）=f（1-x），
∴函数f（x）关于x=1对称，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（-∞，1]是减函数，
即f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上为减函数，
若不等式f（ax+2）≤f（x-1）对任意x∈[$\frac{1}{2}$，1]恒成立，
∵x∈[$\frac{1}{2}$，1]，∴x-1∈[-$\frac{1}{2}$，0]，
若a=0，则不等式等价为f（2）≤f（x-1），
即f（0）≤f（x-1），此时满足条件，
若a＞0，
则ax∈[$\frac{1}{2}$a，a]，∴ax+2∈[$\frac{1}{2}$a+2，a+2]，
则f（ax+2）=f（-ax），
则f（ax+2）≤f（x-1）等价为f（-ax）≤f（x-1），
则函数则（-∞，1）上为减函数，
∴-ax≥x-1，
即a≤$\frac{1}{x}$-1，
∵y=$\frac{1}{x}$-1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]为减函数，
∴函数的最小值为y=1-1=0，
此时a≤0，此时a无解，
若a＜0，则ax∈[a，$\frac{1}{2}$a]，∴ax+2∈[a+2，$\frac{1}{2}$a+2]，
若a+2≥1，即-1≤a＜0时，则f（ax+2）=f（-ax），
则f（ax+2）≤f（x-1）等价为f（-ax）≤f（x-1），
则函数则（-∞，1）上为减函数，
∴-ax≥x-1，
即a≤$\frac{1}{x}$-1，
∵y=$\frac{1}{x}$-1在x∈[$\frac{1}{2}$，1]为减函数，
∴函数的最小值为y=1-1=0，
此时a≤0，此时-1≤a＜0，
若$\frac{1}{2}$a+2＜1，即a＜-2时，
则f（ax+2）≤f（x-1）等价为ax+2≥x-1，
即ax≥x-3，
则a≥$\frac{x-3}{x}=1-\frac{3}{x}$成立，
∵y=1-$\frac{3}{x}$在x∈[$\frac{1}{2}$，1]递增，
∴当x=1时，函数取得最大值为y=1-3=-2，
∴a≥-2．此时a无解，
综上-2≤a≤0
故答案为：[-2，0]

点评 本题主要考查函数单调性的应用，根据函数对称性和单调性之间的关系是解决本题的关键．