Question

20．若函数y=$\frac{1}{2}$sin2x+acos2x图象关于x=$\frac{π}{12}$对称，则实数a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 首先，利用辅助角公式，化简函数解析式，然后，结合对称性建立等式求解即可．

解答 解：设函数y=f（x），
y=f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+acos2x
=$\sqrt{\frac{1}{4}+{a}^{2}}sin（2x+θ）$，
∵函数y=$\frac{1}{2}$sin2x+acos2x图象关于x=$\frac{π}{12}$对称，
∴f（$\frac{π}{12}$）=±$\sqrt{\frac{1}{4}+{a}^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}×sin\frac{π}{6}+acos\frac{π}{6}$=±$\sqrt{\frac{1}{4}+{a}^{2}}$，
∴（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}a$）²=$\frac{1}{4}$+a²，
∴$4{a}^{2}-4\sqrt{3}a+3=0$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题重点考查了三角函数的对称性、最值，辅助角公式等知识，属于中档题．